已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1和x=﹣1时取得极值，且f（1）=﹣1．（1）试求常数a、b、c的值；（2）试求f（x）的单调区间；（3）试判断x=±1时函数取极小值还是极大值，并说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1和x=﹣1时取得极值，且f（1）=﹣1．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1和x=﹣1时取得极值，且f（1）=﹣1．
（1）试求常数a、b、c的值；
（2）试求f（x）的单调区间；
（3）试判断x=±1时函数取极小值还是极大值，并说明理由．

试题来源：湖南省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1和x=﹣1时取得极值
∴f′（1）=f′（﹣1）=0，
∴3a+2b+c=0，①
3a﹣2b+c=0．②
又f（1）=﹣1，
∴a+b+c=﹣1．③
由①②③解得a=

，b=0，c=﹣

．
（2）f（x）=

x³﹣

x，
∴f′（x）=

（x﹣1）（x+1）．
令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞1；
令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜1．
∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调减区间为（﹣1，1）
（3）由（2）知，函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），
单调减区间为（﹣1，1）
∴x=﹣1时，f（x）有极大值；
x=1时，f（x）有极小值．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1和x=﹣1时取得极值，且f（1）=﹣1．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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