已知f（x）=2x-ax2+2（x∈R）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若f（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数a的取值范围A；（3）在（2）的条件下，设关于x的方程f（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=2x-ax2+2（x∈R）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数a的取值范围A；
（3）在（2）的条件下，设关于x的方程f（x）=

1

x

的两个根为x₁、x₂，若对任意a∈A，t∈[-1，1]，不等式m2+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R），
∴a=1时，f（x）=

2x-1

x2+2

，
∴f′=

-2(x2-x-2)

(x2+2)2

，
∴f′（2）=0，f（2）=

4-1

4+2

=

1

2

，
∴过（2，f（2））切线方程为y=

1

2

．
（2）∵f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R），
∴f′(x)=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，
∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．
设g（x）=x²-ax-2，则问题等价于

g(1)=1-a-2≤0

g(-1)=1+a-2≤0

，解得-1≤≤1．
∴A=[-1，1]．
（3）由

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0，
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两个非零实数根，
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
从而|x1-x2|=

a2+8

≤3，
∴不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立．
∴m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
∴m²+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立，
设g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），则问题等价于：

g(-1)=m2-m-2＞0

g(1)=m2+m-2≥0

，
解得m≤-2，或m≥2．
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=2x-ax2+2（x∈R）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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