已知函数f（x）=ex-ex．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：e1+12+13+…+1n-1+1n＞n+1（n∈N*）；（Ⅲ）对于函数h（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex-ex．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：e1+12+13+…..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x-ex．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）求证：e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

＞n+1（n∈N^*）；
（Ⅲ）对于函数h（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数h（x）与g（x）的“分界线”．设函数h(x)=f(x)-ex+ex+

1

2

x2，g（x）=elnx，h（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：朝阳区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为f'（x）=e^x-e，
令f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1，
令f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1，
所以函数f（x）在（-∞，1）上递减，（1，+∞）上递增，
所以f（x）的最小值为f（1）=0． …（3分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知函数f（x）在x=1取得最小值，
所以f（x）≥f（1），
即e^x≥ex
两端同时乘以

1

e

得e^x-1≥x，
把x换成t+1得e^t≥t+1，
当且仅当t=0时等号成立．
由e^t≥t+1得，e¹＞1+1=2，e

1

2

＞

1

2

+1=

3

2

，
e

1

3

＞

1

3

+1=

4

3

，
…
e

1

n-1

＞

1

n-1

+1=

n

n-1

，e

1

n

＞

1

n

+1=

n+1

n

．
将上式相乘得
e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

＞2×

3

2

×

4

3

×…×

n

n-1

×

n+1

n

=n+1．…（9分）
（Ⅲ）设F(x)=h(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx(x＞0)．
则F′(x)=x-

e

x

=

x2-e

x

=

(x+

e

)(x-

e

)

x

．
所以当0＜x＜

e

时，F'（x）＜0；
当x＞

e

时，F'（x）＞0．
因此x=

e

时F（x）取得最小值0，
则h（x）与g（x）的图象在x=

e

处有公共点(

e

，

1

2

e)．
设h（x）与g（x）存在“分界线”，
方程为y-

1

2

\user2e=k(x-

e

)．
由h(x)≥kx+

1

2

e-k

e

在x∈R恒成立，
则x2-2kx-e+2k

e

≥0在x∈R恒成立．
所以△=4k2+4e-8k

e

=4(k-

e

)2≤0成立．
因此k=

e

．
下面证明g(x)≤

e

x-

1

2

e（x＞0）成立．
设G(x)=elnx-

e

x+

1

2

e，
G′(x)=

e

x

-

e

=

e-

e

x

．
所以当0＜x＜

e

时，G'（x）＞0；
当x＞

e

时，G'（x）＜0．
因此x=

e

时G（x）取得最大值0，
则g(x)≤

e

x-

1

2

e（x＞0）成立．
所以k=

e

，b=-

1

2

e．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex-ex．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：e1+12+13+…..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：