已知函数f（x）=mlnx+1x，（其中m为常数）（1）试讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）令函数h（x）=f（x）+1mlnx-x．当m∈[2，+∞）时，曲线y=h（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=mlnx+1x，（其中m为常数）（1）试讨论f（x）在区间（0，+∞..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=mlnx+

1

x

，（其中m为常数）
（1）试讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）令函数h（x）=f（x）+

1

m

lnx-x．当m∈[2，+∞）时，曲线y=h（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得过P、Q点处的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．

试题来源：永州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′(x)=

m

x

-

1

x2

=

mx-1

x2

（x＞0）
∴m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
m＞0时，f′（x）＞0可得x＞

1

m

，f′（x）＜0可得x＜

1

m

∴函数f（x）在（0，

1

m

）上是减函数，在（

1

m

，+∞）上是增函数；
（2）由题意，可得h′（x₁）=h′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）
即

m+

1

m

x1

-

1

x12

-1=

m+

1

m

x2

-

1

x22

-1
∴x1+x2=(m+

1

m

)x1x2
∵x₁≠x₂，由不等式性质可得x1x2＜(

x1+x2

2

)2恒成立，
又x₁，x₂，m＞0
∴x1+x2＜(m+

1

m

)(

x1+x2

2

)2
∴x1+x2＞

4

m+

1

m

对m∈[2，+∞）恒成立
令g（m）=m+

1

m

（m≥2），则g′(m)=

(m+1)(m-1)

m2

＞0对m∈[2，+∞）恒成立
∴g（m）在[2，+∞）上单调递增，∴g(m)≥g(2)=

5

2

∴

4

m+

1

m

≤

4

g(2)

=

8

5

∴x₁+x₂的取值范围为（

8

5

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=mlnx+1x，（其中m为常数）（1）试讨论f（x）在区间（0，+∞..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：