已知函数f（x）=13x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[-2，4]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=13x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[-2，4]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=x²-2ax+a²-1，
∵（1，f（1））在x+y-3=0上，
∴f（1）=2，
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=

1

3

-a+a²-1+b，
又f′（1）=-1，
∴a²-2a+1=0，
解得a=1，b=

8

3

．
（2）∵f（x）=

1

3

x³-x²+

8

3

，
∴f′（x）=x²-2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
∵f（0）=

8

3

，f（2）=

4

3

，f（-2）=-4，f（4）=8，
∴在区间[-2，4]上的最大值为8．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=13x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：