发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-04 07:30:00
| 试题原文 |
|
| （1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=-1，则f（x）=[ax2-（a+1）x+1]ex， ∴f′（x）=[ax2+（a-1）x-a]ex， 由题意函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0 当a＞0时，因为二次函数y=ax2+（a-1）x-a图象开口向上，而f′（0）=-a＜0，所以只需要f′（1）=（a-1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1； 当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x2-1）ex＜0，函数符合条件； 当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=-xex＜0，函数符合条件； 当a＜0时，因f′（0）=-a＞0函数不符合条件； 综上知，a的取值范围是0≤a≤1 （II）当a=0时，f（x）=（1-x）ex，假设存在实数m使不等式2f（x）+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立， 由mx+1≥-x2+4x+1得，x2+（m-4）x≥0恒成立，∴△=（m-4）2≤0，∴m=4． 下面证明：当m=4时，2f（x）+4xex≥mx+1对任意x∈R恒成立，即（2x+2）ex≥4x+1对任意x∈R恒成立， 令g（x）=（2x+2）ex-4x-1，g′（x）=（2x+4）ex-4，∵g′（0）=0， 当x＞0时，2x+4＞4，ex＞1，∴（2x+4）ex＞4，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增， 当x＜0时，2x+4＜4，0＜ex＜1，∴（2x+4）ex＜4，g′（x）＜0，g（x）在（-∞0，）上单调递减， ∴g（x）min=g（0）=1＞0，∴g（x）＞0，即（2x+2）ex≥4x+1对任意x∈R恒成立． 综上所述，实数m=4使不等式2f（x）+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex且f（0）=1，f（1）=0．（I）若f（x）在区间[0，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。