已知函数f（x）=ax3+x2-ax，其中a，x∈R．（I）当a=1时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若x∈[0，3]时，函数f（x）在x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+x2-ax，其中a，x∈R．（I）当a=1时，求函数f（x）的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+x²-ax，其中a，x∈R．
（ I）当a=1时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若x∈[0，3]时，函数f（x）在x=0处取得最小值，求实数a的取值范围．

试题来源：天津一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x³+x²-x．f'（x）=3x²+2x-1，
由f'（x）＜0，即3x²+2x-1＜0，得-1＜x＜

1

3

，
即当a=1时，函数f（x）的单调递减区间为(-1，

1

3

)．
（Ⅱ）由f'（x）=3ax²+2x-a．
要使函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，
则方程f'（x）=0在区间（1，2）内有不重复的零点，
而△=4+12a²＞0，由3ax²+2x-a=0，得a（3x²-1）=-2x
∵x∈（1，2），∴（3x²-1）≠0，∴a=-

2x

3x2-1

；
令u=-

2x

3x2-1

（x∈（1，2）），则u=-

2

3x-

1

x

，
∴u=-

2x

3x2-1

在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为(-1，-

4

11

)，
故a的取值范围是(-1，-

4

11

)．
（Ⅲ）由题意可知，当x∈[0，3]时，f（x）≥f（0）=0恒成立，
即x∈[0，3]时，ax²+x-a≥0恒成立．
记h（x）=ax²+x-a
当a=0时，h（x）=x≥0在x∈[0，3]时恒成立，符合题意；
当a＞0时，由于h（0）=-a＜0，则不符合题意；
当a＜0时，由于h（0）=-a＞0，则只需h（3）=8a+3≥0，得a≥-

3

8

，
即-

3

8

≤a＜0．
综上，-

3

8

≤a≤0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+x2-ax，其中a，x∈R．（I）当a=1时，求函数f（x）的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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