证明函数f（x）=x2ex-1-13x3-x2在区间（-∞，-2）内是减函数．-数学试题及答案

1、试题题目：证明函数f（x）=x2ex-1-13x3-x2在区间（-∞，-2）内是减函数．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

证明函数f（x）=x²e^x-1-

1

3

x³-x²在区间（-∞，-2）内是减函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f（x）=x²e^x-1-

1

3

x³-x²
∴f'（x）=（x²）′e^x-1+x²（e^x-1）′-（

1

3

x³）′-（x²）′=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x
=x²（e^x-1-1）+2x（e^x-1-1）=（e^x-1-1）（x²+2x）
∵x∈（-∞，-2），∴x²+2x＞0，
又∵x∈（-∞，-2），∴x-1＜-3．
∴e^x-1＜e^-3，∴e^x-1-1＜e^-3-1＜0，
∴（e^x-1-1）（x²+2x）＜0
即当x∈（-∞，-2）时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，-2）内是减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“证明函数f（x）=x2ex-1-13x3-x2在区间（-∞，-2）内是减函数．”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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