已知函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（1）求实数a的值；（2）若m＞n＞0，求证：lnm-lnn＜m+nn；（3）若关于x的方程f（x）+2x=x2+λ在[12，2]上恰有两个不相-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（1）求实数a的值；
（2）若m＞n＞0，求证：lnm-lnn＜

m+n

n

；
（3）若关于x的方程f（x）+2x=x²+λ在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，f′（x）=1-

1

x+a

∵函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴f′（1）=0
∴a=0；
（2）证明：∵m＞n＞0，∴要证明lnm-lnn＜

m+n

n

，只需要证明ln

m

n

＜

m

n

-1
只需要证明lnx＜x-1，x＞1
记g（x）=lnx-x=-f（x）
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减
∴g（x）＜g（1）=-1，即lnx-x＜-1
∴lnm-lnn＜

m+n

n

；
（3）∵f（x）+2x=x²+λ，f（x）=x-lnx
∴原方程可化为x²-3x+lnx+λ=0，x∈[

1

2

，2]
记h（x）=x²-3x+lnx+λ，x∈[

1

2

，2]
则h′(x)=

(x-1)(2x-1)

x

∴x∈(

1

2

，1)时，h′（x）＜0，x∈（1，2）时，h′（x）＞0，
∵h(

1

2

)=-

5

4

-ln2+λ，h（2）=-2+ln2+λ，h（1）=-2+λ，h(2)-h(

1

2

)=-

3

4

+ln4＞0
∴h(1)＜h(

1

2

)＜h(2)
∴

h(

1

2

)≥0

h(1)＜0

∴

-

5

4

-ln2+λ≥0

-2+λ＜0

∴

5

4

+ln2≤λ＜2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：