已知函数f（x）=x3+3ax-1的导函数为f′（x），g（x）=f′（x）-ax-3．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；（3）若x?g′（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+3ax-1的导函数为f′（x），g（x）=f′（x）-ax-3．（1）当a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+3ax-1的导函数为f^′（x），g（x）=f^′（x）-ax-3．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（3）若x?g^′（x）+lnx＞0对一切x≥2恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：汕头模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=-2时，f′（x）=3x²-6．令f′（x）=0得x=±

2

，
故当x＜-

2

或x＞

2

时f′（x）＞0，f′（x）单调递增；
当-

2

＜x＜

2

时f^′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以函数f′（x）的单调递增区间为（-∞，-

2

]，[

2

，+∞）；单调递减区间为(-

2

，

2

)；

（2）因f′（x）=3a²+3a，故g（x）=3x²-ax+3a-3．
令g（x）=h（a）=a（3-x）+3x²-3，要使h（a）＜0对满足-1≤a≤1的一切a成立，
则

h(-1)=3x2+x-6＜0

h(1)=3x2-x＜0

，解得0＜x＜

1

3

；
0＜x＜

1

3

．

（3）因为g（x^′）=6x-a，
所以X（6x-a）+lnx＞0
即a＜6x+

lnx

x

=h(x)对一切x≥2恒成立．h′(x) =6+

1-lnx

x2

=

6x2+ 1-lnx

x2

，
令6x²+1-lnx=φ（x），φ′(x)=12x-

1

x

．
因为x≥2，所以φ^′（x）＞0，
故φ（x）在[2，+∞）单调递增，有φ（x）≥φ（2）=25-ln2＞0．
因此h^′（x）＞0，从而h (x)≥h (2)=12+

ln2

2

．
所以a＜hmin(x)=h (2)=12+

ln2

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+3ax-1的导函数为f′（x），g（x）=f′（x）-ax-3．（1）当a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：