已知函数f(x)=1x+a，g（x）=bx2+3x．（Ⅰ）若曲线h（x）=f（x）-g（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，求a，b的值；（Ⅱ）当a∈[3，+∞），且ab=8时，求函数φ(x)=g(x)f(x)的单调区间，并求函数在区-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1x+a，g（x）=bx2+3x．（Ⅰ）若曲线h（x）=f（x）-g（x）在点（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

x+a

，g（x）=bx²+3x．
（Ⅰ）若曲线h（x）=f（x）-g（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，求a，b的值；
（Ⅱ）当a∈[3，+∞），且ab=8时，求函数φ(x)=

g(x)

f(x)

的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值．

试题来源：丰台区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数h（x）定义域为{x|x≠-a}，
则h′(x)=f′(x)-g′(x)=-

1

(x+a)2

-2bx-3，
∵h（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，
∴

h(1)=0

h′(1)=0.

，即

1

1+a

-b-3=0

-

1

(1+a)2

-2b-3=0.

，解得

a=0

b=-2

或

a=-

4

3

b=-6.

；
（Ⅱ）φ（x）=（x+a）（bx²+3x）（x≠-a），
∵ab=8，所以b=

8

a

，∴φ(x)=(x+a)(

8

a

x2+3x)（x≠-a），
∴φ′(x)=

1

a

(24x2+22ax+3a2)=

1

a

(4x+3a)(6x+a)，
令φ'（x）=0，得x=-

3

4

a，或x=-

1

6

a，
∵因为a∈[3，+∞），∴所以-

3

4

a＜-

1

6

a，
∴故当x＜-

3

4

a，或x＞-

1

6

a时，φ'（x）＞0，当-

3

4

a＜x＜-

1

6

a时，φ'（x）＜0，
∴函数φ（x）的单调递增区间为(-∞，-a)，(-a，-

3

4

a)，(-

1

6

a，+∞)，单调递减区间为(-

3

4

a，-

1

6

a)，
∵a∈[3，+∞），∴-

3a

4

≤-

9

4

，-

a

6

≤-

1

2

，
①当-

a

6

≤-2，即a≥12时，∵φ（x）在[-2，-1]单调递增，
∴φ（x）在该区间的最小值为φ(-2)=-

64

a

+44-6a；
②当-2＜-

a

6

＜-1，即6＜a＜12时，
∵φ（x）在[-2，-

a

6

）上单调递减，在(-

a

6

，-1]上单调递增，
∴φ（x）在该区间的最小值为φ(-

a

6

)=-

25

108

a2；
③当-

a

6

≥-1时，即3≤a≤6时，∵φ（x）在[-2，-1]单调递减，
∴φ（x）在该区间的最小值为φ(-1)=-

8

a

+11-3a，
综上所述，当3≤a≤6时，最小值为-

8

a

+11-3a；当6＜a＜12时，最小值为-

25

108

a2；当a≥12时，最小值为-

64

a

+44-6a．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1x+a，g（x）=bx2+3x．（Ⅰ）若曲线h（x）=f（x）-g（x）在点（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：