设a＞0，已知函数f（x）=ex（ax2+x+1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．若对?x1∈[0，1]，?x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）．求实数b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞0，已知函数f（x）=ex（ax2+x+1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设a＞0，已知函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4．若对?x₁∈[0，1]，?x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）．求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=e^x（x+2）（ax+1）（2分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（ax+1）＞0，
∴当a∈(0，

1

2

)时，f(x)在(-∞，-

1

a

)上递增，在(-

1

a

，-2)上递减，在-2，+∞上递增；
当a=

1

2

时，f(x)在(-∞，+∞)上递增；
当a∈(

1

2

，+∞)时，f(x)在(-∞，-2)上递增，在(-2，-

1

a

)上递减，在(-

1

a

，+∞)上递增．           （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＞0时，f（x）在[0，1]总是单调增加，
故f（x）在[0，1]的最小值为f（0）=1．              （8分）
由于“对?x₁∈[0，1]，?x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）成立”等价于
“g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在[0，1]上的最小值1”．      （9分）
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]，所以，
①当b＜1时，因为[g（x）]_min=g（1）=5-2b≤1，此时无解；
②当b∈[1，2]时，因为[g(x)]min=4-b2≤1，解得

3

≤b≤2；
③当b∈（2，+∞）时，因为[g（x）]_min=g（2）=8-4b≤1，解得b＞2；
综上，b的取值范围是[

3

，+∞)．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞0，已知函数f（x）=ex（ax2+x+1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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