已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．（1）求f（x）在[0，1]上的单调区间；（2）若对任意x∈[13，1]，不等式|a-f（x）|＞ln5，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．（1）求f（x）在[0，1]上的单调区间；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2．
（1）求f（x）在[0，1]上的单调区间；
（2）若对任意x∈[

1

3

，1]，不等式|a-f（x）|＞ln5，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞-

2

3

}，f′(x)=

3

2+3x

-3x=

3-6x-9x2

2+3x

=

-3(x+1)(3x-1)

3x+2

（3分）
∴在[0，1]上，当0≤x＜

1

3

时，f'（x）＞0时，f（x）单调递增；
当

1

3

＜x≤1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）在[0，1]上的增区间是[0，

1

3

]，减区间是[

1

3

，1]．（开闭均可）（6分）
（2）由|a-f（x）|＞ln5，可得a-f（x）＞ln5或a-f（x）＜-ln5，
即a＞f（x）+ln5或a＜f（x）-ln5．（7分）
由（1）当x∈[

1

3

，1]时，f（x）max=f（

1

3

）=ln3-

1

6

，f(x)min=f(1)=ln5-

3

2

．（9分）
∵a＞f（x）+ln5恒成立，∴a＞ln15-

1

6

，
∵a＜f（x）-ln5恒成立，∴a＜-

3

2

．
∴a的取值范围为：a＞ln15-

1

6

或a＜-

3

2

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．（1）求f（x）在[0，1]上的单调区间；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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