设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1-x）ln（1-x）]'=lnx-ln（1-x）=ln

x

1-x

．
令f^′（x）=0，则

x

1-x

=1，解得x=

1

2

．
当0＜x＜

1

2

，f′(x)=lnx-ln(1-x)＜0，f(x)在区间(0，

1

2

)是减函数，
当1＞x＞

1

2

，f′(x)=lnx-ln(1-x)＞0，f(x)在区间(

1

2

，1)是增函数．
所以f(x)在x=

1

2

时取得最小值，f(

1

2

)=-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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