已知f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求实数C的值；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在点M（x₀，y₀），使f（x）在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；不存在说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得f'（x）=3ax²+2bx+c因为f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
所以x=0是f（x）的一个极值点∴f'（0）=0?∴c=0（4分）
（2）∵c=0，∴f'（x）=3ax²+2bx
令f′(x)=0得3ax2+2bx=0，解得x1=0，x2=-

2b

3a

因为f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反单调性，
所以2≤-

2b

3a

≤4?即有-6≤

b

a

≤-3?(8分)
假设存在点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M处的切线斜率为3b，则f'（x₀）=3b即3a

x

20

+2bx0-3b=0??所以△=4ab(

b

a

+9)
∵-6≤

b

a

≤-3??∴ab＜0，

b

a

+9＞0，??∴△＜0，x0无解
故不存在点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M处的切线斜率为3b（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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