已知函数f（x）=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．（1）若函数y=f（x）的导函数是偶函数，求a的值；（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．（1）若函数y=f（x）的导函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．
（1）若函数y=f（x）的导函数是偶函数，求a的值；
（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（3）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得，f'（x）=x²-2ax+a²-1，
∵f'（x）是偶函数，∴-2a=0，解得a=0，
（2）由题意知（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2，
又∵（1，2）在y=f（x）上，∴2=

1

3

-a+a2-1+b ①，
由f'（1）=-1，得1-2a+a²-1=-1 ②
由①②，解得a=1，b=

8

3

，
∴f(x)=

1

3

x3-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x，
由f'（x）=0得x=0或x=2，
当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0；当0＜x＜2时，f'（x）＜0；
∴函数y=f（x）的减区间为（0，2），增区间为（-∞，0），（2，+∞），
∴x=0或x=2是f（x）的极值点．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8，
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．
（3）∵函数f（x）在区间（-1，1）不单调，∴以函数f'（x）在（-1，1）存在零点．
由f'（x）=0得，x²-2ax+a²-1=0，解得x=a-1或x=a+1，则区间长为2，
∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点，即f'（x）在（-1，1）只有一个零点．
则f'（-1）f'（1）＜0，即a²（a+2）（a-2）＜0，
∵a²＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，解得-2＜a＜2．
又由a≠0，a的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．（1）若函数y=f（x）的导函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：