已知函数f(x)=(1-ax)ex(x＞0)，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=(1-ax)ex(x＞0)，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(1-

a

x

)ex(x＞0)，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积；
（Ⅱ）若函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e⁵，求a的值．

试题来源：西城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′(x)=

x2-ax+a

x2

ex，…（3分）
当a=2时，f′(x)=

x2-2x+2

x2

ex，f′(1)=

1-2+2

12

×e1=e，f（1）=-e，
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=ex-2e，…（5分）
切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，-2e），…（6分）
∴所求面积为

1

2

×2×|-2e|=2e．…（7分）
（Ⅱ）因为函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，
所以，方程x²-ax+a=0在（0，+∞）内存在两个不等实根，…（8分）
则

△=a2-4a＞0

a＞0.

…（9分）
所以a＞4．…（10分）
设x₁，x₂为函数f（x）的极大值点和极小值点，
则x₁+x₂=a，x₁x₂=a，…（11分）
因为f（x₁）f（x₂）=e⁵，
所以

x1-a

x1

ex1×

x2-a

x2

ex2=e5，…（12分）
即

x1x2-a(x1+x2)+a2

x1x2

ex1+x2=e5，

a-a2+a2

a

ea=e5，e^a=e⁵，
解得a=5，此时f（x）有两个极值点，
所以a=5．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(1-ax)ex(x＞0)，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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