已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g(x)=-x2+2bx+3．当a=-13时，若对任意x1∈(0，+∞)，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），求实数b取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g(..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g(x)=-x2+2bx+3．当a=-

1

3

时，若对任意x1∈(0，+∞)，存在x2∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），求实数b取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，
当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≤-1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当-1＜a＜0时，由f′（x）=0，得x2=-

a+1

2a

，
∵x＞0，∴x=

-

a+1

2a

，
当x∈（0，

-

a+1

2a

）时，f′（x）＞0，
当x∈（

-

a+1

2a

，+∞）时，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，

-

a+1

2a

）上单调递增；在（

-

a+1

2a

，+∞）上单调递减．
（2）当a=-

1

3

时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=

1

3

，
欲使符合条件的f（x₁）≤g（x₂）成立，
只需存在g（x）_max≥f（x）_max=

2

3

即可，
∴存在x∈[1，2]使得不等式-x²+2bx+3≥

2

3

成立，
则由2bx≥x2-

7

3

，得到2b≥x-

7

3x

，
∵x-

7

3x

在[1，2]上有最小值-

4

3

，
因此2b≥-

4

3

，故b≥-

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g(..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：