设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与g(1x)的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）-g（x）＜1a对任意x＞0成立．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g（x）与g(

1

x

)的大小关系；
（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）-g（x）＜

1

a

对任意x＞0成立．

试题来源：陕西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+

1

x

，
∴g'（x）=

x-1

x2

，令g′（x）=0得x=1，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，
因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，
从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．
（II）g(

1

x

)=-Inx+x
设h(x)=g(x)-g(

1

x

)=2lnx-x+

1

x

，则h'（x）=-

(x-1)2

x2

，
当x=1时，h（1）=0，即g(x)=g(

1

x

)，
当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）=0，
因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，
当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即g(x)＞g(

1

x

)，
当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即g(x)＜g(

1

x

)．
（III）由（I）知g（x）的最小值为1，
所以，g（a）-g（x）＜

1

a

，对任意x＞0，成立?g（a）-1＜

1

a

，
即Ina＜1，从而得0＜a＜e．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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