设函数fn(x)=1-x+x22-x33+…-x2n-12n-1(n∈N*)．（Ⅰ）研究函数f2（x）的单调性；（Ⅱ）判断fn（x）=0的实数解的个数，并加以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数fn(x)=1-x+x22-x33+…-x2n-12n-1(n∈N*)．（Ⅰ）研究函数f2（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数fn(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2n-1

2n-1

(n∈N*)．
（Ⅰ）研究函数f₂（x）的单调性；
（Ⅱ）判断f_n（x）=0的实数解的个数，并加以证明．

试题来源：武昌区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f2(x)=1-x+

1

2

x2-

1

3

x3，f₂^′（x）=-1+x-x²=-(x-

1

2

)2-

3

4

＜0，
所以f₂（x）在R单调递减．
（Ⅱ）f₁（x）=1-x有唯一实数解x=1
由fn(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2n-1

2n-1

，n∈N*，
得f_n^′（x）=-1+x-x²+…+x^2n-3-x^2n-2．
（1）若x=-1，则f_n^′（x）=-（2n-1）＜0．
（2）若x=0，则f_n^′（x）=-1＜0．
（3）若x≠-1，且x≠0时，则fn′(x)= -

x2n-1+1

x+1

．
①当x＜-1时，＜0，x^2n-1+1＜0，f_n^′（x）＜0．
②当x＞-1时，f_n^′（x）＜0
综合（1），（2），（3），得f_n^′（x）＜0，
即f_n（x）在R单调递减．
又f_n（x）=1＞0，fn(2)=(1-2)+(

22

2

-

23

3

)+(

24

4

-

25

5

)+…+(

22n-2

2n-2

-

22n-1

2n-1

)
=-1+(

1

2

-

2

3

)22+(

1

4

-

2

5

)24+…+(

1

2n-2

-

2

2n-1

)22n-2
=-1-

1

2?3

22-

3

4?5

24-…-

2n-3

(2n-2)(2n-1)

22n-2＜0，
所以f_n（x）在（0，2）有唯一实数解，从而f_n（x）在R有唯一实数解．
综上，f_n（x）=0有唯一实数解．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数fn(x)=1-x+x22-x33+…-x2n-12n-1(n∈N*)．（Ⅰ）研究函数f2（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：