已知函数f(x)=x22-(1+2a)x+4a+12ln(2x+1)．（1）设a=1时，求函数f（x）极大值和极小值；（2）a∈R时讨论函数f（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x22-(1+2a)x+4a+12ln(2x+1)．（1）设a=1时，求函数f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x2

2

-(1+2a)x+

4a+1

2

ln(2x+1)．
（1）设a=1时，求函数f（x）极大值和极小值；
（2）a∈R时讨论函数f（x）的单调区间．

试题来源：广东模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a=1，
∴f（x）=

x2

2

-3x+

5

2

ln（2x+1），x＞-

1

2

，
f'（x）=x-3+

5

2x+1

=

(2x+1)(x-3)+5

2x+1

=

(2x-1)(x-2)

2x+1

，…（1分）
令f'（x）=0，则x=

1

2

或x=2…（2分）
x、f（x）、f′（x）的变化情况如下表：

x

（-

1

2

，

1

2

）

1

2

（

1

2

，2）

2

（2，+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大

↙

极小

↗

…（4分）
由上表可得：f(x)极大=f(

1

2

)=

5

2

ln2-

11

8

，f(x)极小=f(2)=

5

2

ln5-4…（5分）
（2）f'（x）=x-（1+2a）+

4a+1

2x+1

=

(2x+1)(x-1-2)+4a+1

2x+1

=

(2x-1)(x-2a)

2x+1

令f'（x）=0，则x=

1

2

或x=2a…（6分）
i、当2a＞

1

2

，即a＞

1

4

时，

x

（-

1

2

，

1

2

）

1

2

（

1

2

，2a）

2a

（2a，+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

↙

↗

所以f（x）的增区间为（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），减区间为（

1

2

，2a）…（8分）
ii、当2a=

1

2

，即a=

1

4

时，f'（x）=

(2x-1)2

2x+1

≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增区间为（-

1

2

，+∞）…（10分）
iii、当-

1

2

＜2a＜

1

2

，即-

1

4

＜a＜

1

4

时，

x

（-

1

2

，2a）

2a

（2a，

1

2

）

1

2

（

1

2

，+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

↙

↗

所以f（x）的增区间为（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），减区间为（2a，

1

2

）…（12分）
iv、当2a≤-

1

2

，即a≤-

1

4

时，

x

（-

1

2

，

1

2

）

1

2

（

1

2

，+∞）

f'（x）

-

0

+

f（x）

↙

↗

所以f（x）的增区间为（

1

2

，+∞），减区间为（-

1

2

，

1

2

）…（14分）
综上述：a≤-

1

4

时，f（x）的增区间为（

1

2

，+∞），减区间为（-

1

2

，

1

2

）-

1

4

＜a＜

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），减区间为（2a，

1

2

）a=

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，+∞）a＞

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），减区间为（

1

2

，2a）
说明：如果前面过程完整，最后没有综上述，可不扣分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x22-(1+2a)x+4a+12ln(2x+1)．（1）设a=1时，求函数f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：