已知函数f（x）=ax2+2bx-2lnx（a≠0），且f（x）在x=1处取得极值．（1）试找出a，b的关系式；（2）若函数y=f（x）在x∈(0，12]上不是单调函数，求a的取值范围；（3）求函数y=f（x）在x∈(0，12]的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+2bx-2lnx（a≠0），且f（x）在x=1处取得极值．（1）试找..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+2bx-2lnx（a≠0），且f（x）在x=1处取得极值．
（1）试找出a，b的关系式；
（2）若函数y=f（x）在x∈(0，

1

2

]上不是单调函数，求a的取值范围；
（3）求函数y=f（x）在x∈(0，

1

2

]的图象上任意一点处的切线斜率k的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=a x ²+2 b x-2lnx，得f′(x)=2ax+2b-

2

x

，
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f'（1）=0，
故2a+2b-2=0，即b=1-a；
（2）因为函数f（x）在x∈（0，

1

2

]上不是单调函数，所以f'（x）=0在（0，

1

2

]内有解，
即ax²+bx-1=0，亦即ax²+（1-a）x-1=0在（0，

1

2

]内有解，
由ax²+（1-a）x-1=0得：x=1，或x=-

1

a

，
所以0＜-

1

a

＜

1

2

，解得：a＜-2；
（3）因为k=f′(x)=2ax+2b-

2

x

=2(ax-

1

x

+1-a)，
①当-4≤a＜0或a＞0时，k′=2(a+

1

x2

)，
因为x∈(0，

1

2

]，所以k'≥0恒成立，
所以k在x∈(0，

1

2

]上单调递增，所以x=

1

2

时，k_max=-a-2；
②当a＜-4时，有0＜

-

1

a

＜

1

2

，所以-ax+

1

x

≥2

-a

，
所以ax-

1

x

≤-2

-a

，此时“=”成立的条件是：x=

-

1

a

，
所以k=2(ax-

1

x

+1-a)≤2(1-a-2

-a

)=2-2a-4

-a

，
综合得：kmax=

-a-2，(-4≤a＜0或a＞0)

2-2a-4

-a

，(a＜-4)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+2bx-2lnx（a≠0），且f（x）在x=1处取得极值．（1）试找..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：