已知函数f（x）=x23，g（x）=t23x-23t．（1）当t=8时，求函数y=f（x）-g（x）的单调区间：（2）求证：当t＞0时f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立；（3）若存在正实数x0，使得g（x0）≤4x0-163对任意正-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x23，g（x）=t23x-23t．（1）当t=8时，求函数y=f（x）-g（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

x2

3

，g（x）=t

2

3

x-

2

3

t．
（1）当t=8时，求函数y=f（x）-g（x）的单调区间：
（2）求证：当t＞0时f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立；
（3）若存在正实数x₀，使得g（x₀）≤4x₀-

16

3

对任意正实数t都成立，请直接写出满足这样条件的-个x₀的值（不必给出求解过程）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当t=8时，g（x）=4x-

16

3

，y=f（x）-g（x）=

x3

3

-4x+

16

3

，
y'=x²-4，由y'＞0，得x＞2或x＜-2，
由y'＜0，得-2＜x＜2，
即函数y=f（x）-g（x）的单调的递增区间为（-∞，-2）和（2，+∞）．
单调递减区间为（-2，2）．
（2）设h（x）=f（x）-g（x），
则h′(x)=f′(x)-g′(x)=x2-t

2

3

，由h′(x)=x2-t

2

3

=0得x=t

1

3

．
当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：

x

（0，t

1

3

）

t

1

3

（t

1

3

，+∞）

h'（x）

-

+

h（x）

单调递减

极小值

单调递增

所以h（x）在（0，+∞）上有唯一的极小值h(t

1

3

)，所以h（x）在（0，+∞）上的最小值h(t

1

3

)=0．
故当t＞0时f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立．
（3）若存在正实数x₀=2使得g（x₀）≤4x₀-

16

3

对任意正实数t都成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x23，g（x）=t23x-23t．（1）当t=8时，求函数y=f（x）-g（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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