已知函数g(x)=13ax3+2x2-2x，函数f（x）是函数g（x）的导函数．（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；（2）若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2，求实数a的取值范围；（3-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数g(x)=13ax3+2x2-2x，函数f（x）是函数g（x）的导函数．（1）若a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数g(x)=

1

3

ax3+2x2-2x，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，求实数a的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．

试题来源：东莞二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，g（x）=

1

3

x³+2x²-2x，g′（x）=x²+4x-2 …（1分）
由g′（x）＜0解得-2-

6

＜x＜-2+

6

…（2分）
∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为（-2-

6

，2+

6

）；…（3分）
（2）易知f（x）=g′（x）=x²+4x-2
依题意知 f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a（

x1+x2

2

）²+4×

x1+x2

2

-2-

a

x

21

+4x1-2+a

x

22

+4x2-2

2

=-

a

4

（x₁-x₂）²＜0 …（5分）
因为x₁≠x₂，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；…（6分）
（3）易知f（x）=ax²+4x-2=a（x+

2

a

）²-2-

4

a

，a＞0．
显然f（0）=-2，由（2）知抛物线的对称轴x=-

2

a

＜0 …（7分）
①当-2-

4

a

＜-4即0＜a＜2时，M∈（-

2

a

，0）且f（M）=-4
令ax²+4x-2=-4解得 x=

-2±

4-2a

a

…（8分）
此时M取较大的根，即M=

-2+

4-2a

a

=

-2

4-2a

+2

…（9分）
∵0＜a＜2，∴M=

-2+

4-2a

a

=

-2

4-2a

+2

＞-1 …（10分）
②当-2-

4

a

≥-4即a≥2时，M＜-

2

a

且f（M）=4
令ax²+4x-2=4解得 x=

-2±

4+6a

a

…（11分）
此时M取较小的根，即 M=

-2±

4+6a

a

=

-6

4+6a

-2

…（12分）
∵a≥2，∴M=

-2±

4+6a

a

=

-6

4+6a

-2

≥-3当且仅当a=2时取等号 …（13分）
由于-3＜-1，所以当a=2时，M取得最小值-3 …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数g(x)=13ax3+2x2-2x，函数f（x）是函数g（x）的导函数．（1）若a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：