已知函数f(x)=2x+22x-1，x∈[0，+∞）（1）证明：函数在[0，12]上为单调减函数，在[12，+∞)上为单调增函数；（2）若x∈[0，a]，求f（x）的最大最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2x+22x-1，x∈[0，+∞）（1）证明：函数在[0，12]上为单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=2x+

2

2x

-1，x∈[0，+∞）
（1）证明：函数在[0，

1

2

]上为单调减函数，在[

1

2

，+∞)上为单调增函数；
（2）若x∈[0，a]，求f（x）的最大最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设x₁＞x₂≥0，则f(x1)-f(x2)=2x1+

2

2x1

-2x2-

2

2x2

=(2x1-2x2)

2x1+x2-2

2x1+x2

．
当

1

2

≥x1＞x2≥0时，x1+x2＜1，2x1+x2＜2，
2x1-2x2＞0，2x1+x2＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在[0，

1

2

]上为单调减函数；
当x1＞x2≥

1

2

时，x1+x2＞1，2x1+x2＞2，
2x1-2x2＞0，2x1+x2＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），所以函数f（x）在[

1

2

，+∞)上为单调增函数．得证；
（2）①当0＜a≤

1

2

时，由（1）知函数f（x）在[0，a]上单调递减，
所以f（x）_max=f（0）=2，f（x）_min=f（a）=2^a+2^1-a-1；
②当

1

2

＜a≤1时，由（1）知函数f（x）在[0，

1

2

]上单调递减，
在[

1

2

，a]上单调递增，且f（0）=f（1），
所以f(x)max=f(0)=2，f(x)min=f(

1

2

)=2

2

-1；
③当a＞1时，由（1）知函数f（x）在[0，

1

2

]上单调递减，
在[

1

2

，a]上单调递增，且f（0）=f（1），
所以f(x)max=f(a)=2a+21-a-1，f(x)min=f(

1

2

)=2

2

-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2x+22x-1，x∈[0，+∞）（1）证明：函数在[0，12]上为单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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