已知函数f（x）=xlnx．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（II）若f（x）≥-x2+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（III）过点A（-e-2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=xlnx．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（II）若f（x）≥-x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=xlnx．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（II）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（III）过点A（-e^-2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1
∴f′（x）＜0得lnx＜-1 （2分）
∴0＜x＜

1

e

∴函数f（x）的单调递减区间是(0，

1

e

)；（4分）
（Ⅱ）∵f（x）≥-x²+ax-6即a≤lnx+x+

6

x

设g(x)=lnx+x+

6

x

，
则g′(x)=

x2+x-6

x2

=

(x+3)(x-2)

x2

（7分）
当x∈（0，2）时g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
∴g（x）最小值g（2）=5+ln2，
∴实数a的取值范围是（-∞，5+ln2]；（10分）
（Ⅲ）设切点T（x₀，y₀）则k_AT=f′（x₀），
∴

x0lnx0

x0+

1

e2

=lnx0+1即e²x₀+lnx₀+1=0
设h（x）=e²x+lnx+1，当x＞0时h′（x）＞0，
∴h（x）是单调递增函数（13分）
∴h（x）=0最多只有一个根，
又h(

1

e2

)=e2×

1

e2

+ln

1

e2

+1=0，
∴x0=

1

e2

由f'（x₀）=-1得切线方程是x+y+

1

e2

=0．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=xlnx．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（II）若f（x）≥-x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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