已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（x＞0），（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）证明：当x＞0时，f（x）＞3x+1恒成立；（3）试证：（1+1?2）（1+2?3）…[1+n（n+1）]＞e2n--数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（x＞0），（1）函数f（x）在区间（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x＞0），
（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞

3

x+1

恒成立；
（3）试证：（1+1?2）（1+2?3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知x＞0，则f′（x）=-

[

1

x+1

+ln(x+1)]

x2

＜0，
故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞

3

x+1

恒成立，即证明（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x（x＞0），
则g′（x）=ln（x+1）-1，
当x＜e-1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞e-1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x=e-1时，g（x）取得最小值，且最小值g（e-1）=3-e＞0，
所以当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，
故当x＞0时，f（x）＞

3

x+1

恒成立；
（3）证明：由（2）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

（x＞0），
∴ln（x+1）＞

3x

x+1

-1=2-

3

x+1

＞2-

3

x

，
令x=n（n+1），则ln[1+n（n+1）]＞2-

3

n(n+1)

=2-3（

1

n

1

n+1

），
又ln[（1+1?2）?（1+2?3）?（1+3?4）?…?（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））＞2n-3[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2n-3（1-

1

n+1

）=2n-3+

3

n+1

＞2n-3
所以（1+1?2）?（1+2?3）?（1+3?4）?…?[1+n（n+1）]＞e^2n-3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（x＞0），（1）函数f（x）在区间（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：