已知函数f（x）=x3-3ax2+2ax+1（a∈R）．（I）当a=-38时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）+3-2ax，若x∈[1，2]时，g（x）＞0恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-3ax2+2ax+1（a∈R）．（I）当a=-38时，求函数f（x）的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-3ax²+2ax+1（a∈R）．
（I）当a=-

3

8

时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）+3-2ax，若x∈[1，2]时，g（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当a=-

3

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时，函数为f(x)=x3+

9

8

x2-

3

4

x+1，
则f/(x)=3x2+

9

4

x-

3

4

＜0，解得当-1＜x＜

1

4

时，
所以函数f（x）的单调递减区间为(-1，

1

4

)．（3分）
（Ⅱ） g（x）=x³-3ax²+4，则g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
令g′（x）=0，解得x=0或x=2a
（1）若0＜a≤

1

2

，在区间x∈[1，2]上时，g′（x）＞0，即g（x）在区间[1，2]上单调递增
所以有g（1）＞0，解得a＜

5

3

，故0＜a≤

1

2

（2）若

1

2

＜a＜1，当x∈[1，2a]时，函数g（x）单调递减，
当x∈[2a，2]时，函数g（x）单调递增，所以有g（2a）＞0，解得a＜1，故

1

2

＜a＜1（7分）
（3）若a≥1，当x∈[1，2]时，g′（x）＜0，即g（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以有g（2）＞0，解得a＜1，舍去
综上所述，当0＜a＜1时，x∈[1，2]，g（x）＞0恒成立．（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-3ax2+2ax+1（a∈R）．（I）当a=-38时，求函数f（x）的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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