已知函数f（x）=ax-1x+b-（a+1）lnx，（a，b∈R），g(x)=-2ex+e2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极小值0，求a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对任意x1，x2∈[e，e2]，总有f（x1）＞g（x2）；-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-1x+b-（a+1）lnx，（a，b∈R），g(x)=-2ex+e2．（Ⅰ）若函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax-

1

x

+b-（a+1）lnx，（a，b∈R），g(x)=-

2

e

x+

e

2

．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极小值0，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对任意x1，x2∈[e，e2]，总有f（x₁）＞g（x₂）；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+

1

x2

-

a+1

x

由题意得

f′(2)=a+

1

4

-

a+1

2

=0

f(2)=2a-

1

2

+b-(a+1)ln2=0

，
∴a=

1

2

，b=

3

2

ln2-

1

2

．
经检验符合题意．
（Ⅱ）f′(x)=

1

2

+

1

x2

-

3

2x

=

x2-3x+2

2x2

=

(x-2)(x-1)

2x2

，当x∈[e，e²]时，f'（x）＞0，
所以f（x）在[e，e²]上单调递增，所以f(x)min=f(e)=

e

2

-

1

e

+

3

2

ln2-2，
g′(x)=-

2

e

，当x∈[e，e²]时，g'（x）＜0，g（x）在[e，e²]上单调递减，所以 g(x)max=g(e)=

e

2

-2．
因为f(x)min-g(x)max=

3

2

ln2-

1

e

＞0，
所以对任意x1，x2∈[e，e2]，总有f（x₁）＞g（x₂）．
（Ⅲ）f′(x)=

ax2-(a+1)x+1

x2

=

(ax-1)(x-1)

x2

．
（1）当a=0时，由f'（x）＞0得，0＜x＜1；
（2）当a＜0时，由f'（x）＞0得，0＜x＜1；
（3）当a＞0时，
（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0得，0＜x＜1或x＞

1

a

；
（ⅱ）若a=1，则f'（x）≥0恒成立，（在（0，1）和（1，+∞）上f'（x）＞0，f′（1）=0），得x＞0；
（ⅲ）若a＞1，由f'（x）＞0得，0＜x＜

1

a

或x＞1．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）；
当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和(

1

a

，+∞)；
当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为(0，

1

a

)和（1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-1x+b-（a+1）lnx，（a，b∈R），g(x)=-2ex+e2．（Ⅰ）若函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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