已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x2，是否存在实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

试题来源：天门模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）a=0时，曲线y=f（x）=x²-lnx，
∴f′（x）=2x-

1

x

，∴g′（1）=1，又f（1）=1
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0．
（II） f′(x)=2x+a-

1

x

=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0

h(2)≤0

得

a≤-1

a≤-

7

2

，
得 a≤-

7

2

（II）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
②当 0＜

1

a

＜e时，g（x）在 (0，

1

a

)上单调递减，在 (

1

a

，e]上单调递增
∴g(x)min=g(

1

a

)=1+lna=3，a=e²，满足条件．
③当

1

a

≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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