设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；（Ⅱ）证明：nr+1-(n-1)r+1r+1＜nr＜(n+1)r+1-nr+1r+1；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]-数学试题及答案

1、试题题目：设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）^r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）证明：

nr+1-(n-1)r+1

r+1

＜nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

；
（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-

3

2

]=-1．令S=

3	81

+

3	82

+

3	83

+…+

3	125

，求[S]的值．
（参考数据：80

4

3

≈344.7，81

4

3

≈350.5，124

4

3

≈618.3，126

4

3

≈631.7)．

试题来源：湖北试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解；（Ⅰ）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）^r-（r+1）=（r+1）[（1+x）^r-1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
当-1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）内是减函数；
当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（-1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，
故当x＞-1且x≠0，有（1+x）^r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令x=

1

n

（这时x＞-1且x≠0），得(1+

1

n

)r+1＞1+

r+1

n

．
上式两边同乘n^r+1，得（n+1）^r+1＞n^r+1+n^r（r+1），
即nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

，②
当n＞1时，在①中令x=-

1

n

（这时x＞-1且x≠0），
类似可得nr＞

nr+1-(n-1)r+1

r+1

，③
且当n=1时，③也成立．
综合②，③得

nr+1-(n-1)r+1

r+1

＜nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

，④
（Ⅲ）在④中，令r=

1

3

，n分别取值81，82，83，…，125，
得

3

4

(81

4

3

-80

4

3

)＜

3	81

＜

3

4

(82

4

3

-81

4

3

)，

3

4

(82

4

3

-81

4

3

)＜

3	82

＜

3

4

(83

4

3

-82

4

3

)，

3

4

(83

4

3

-82

4

3

)＜

3	83

＜

3

4

(84

4

3

-83

4

3

)，…

3

4

(125

4

3

-124

4

3

)＜

3	125

＜

3

4

(126

4

3

-125

4

3

)，
将以上各式相加，并整理得

3

4

(125

4

3

-80

4

3

)＜S＜

3

4

(126

4

3

-81

4

3

)．
代入数据计算，可得

3

4

(125

4

3

-80

4

3

)≈210.2，

3

4

(126

4

3

-81

4

3

)≈210.9
由[S]的定义，得[S]=211．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：