已知函数f（x）=x（1nx+1）（x＞0）．（I）求函数f（x）的最小值；（II）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（III）若斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x（1nx+1）（x＞0）．（I）求函数f（x）的最小值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x（1nx+1）（x＞0）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（II）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（III）若斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，求证：x1＜

1

k

＜x2．

试题来源：南充一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）求导函数可得：f′（x）=lnx+2（x＞0）
令f′（x）＞0可得x＞e^-2；令f′（x）＜0可得0＜x＜e^-2，
∴函数在（0，e^-2）上单调减，在（e^-2，+∞）上单调增
∴x=e^-2时，函数f（x）取到最小值，最小值为-e^-2；
（II）设F（x）=ax²+f′（x）=ax²+lnx+2，则F′（x）=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

（x＞0）
当a≥0时，∵x＞0，∴F′（x）＞0恒成立，∴函数F（x）单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，∵x＞0，令F′（x）＞0，可得0＜x＜

-

1

2a

；令F′（x）＞0，可得x＞

-

1

2a

∴函数F（x）单调增区间为(0，

-

1

2a

)，单调减区间为(

-

1

2a

，+∞)；
（III）证明：y=f′（x）的定义域为（0，+∞）
∵f″（x）=

1

x

＞0，∴y=f′（x）在（0，+∞）上为增函数
∴0＜f′（x₂）＜k＜f′（x₁）
∴0＜

1

x2

＜k＜

1

x1

∴x1＜

1

k

＜x2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x（1nx+1）（x＞0）．（I）求函数f（x）的最小值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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