已知：函数f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx（a＞1）（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若函数y=f（x）在x=2取极值，求函数y=f（x）在区间[e-2，e2]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知：函数f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx（a＞1）（1）求函数y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知：函数f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx（a＞1）
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y=f（x）在x=2取极值，求函数y=f（x）在区间[e^-2，e²]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）定义域为x＞0，
f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+a-1

x

=

[x-(a-1)](x-1)

x

．
由f'（x）＞0且x＞0
得

x＞0

x2-ax+a-1＞0

即

x＞0

[x-(a+1)](x-1)＞0

（i）当a-1=1即a=2时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（ii）当a＞2时，x＞a-1或0＜x＜1，∴f（x）在（a-1，+∞），（0，1）上为增函数；
（iii）当1＜a＜2时，0＜x＜a-1或x＞1，∴f（x）在（0，a-1），（1，+∞）上为增函数．
综上可知：f（x）的单调区间为：当a=2时，（0，+∞）
当a＞2时，（a-1，+∞），（0，1）
当1＜a＜2时，（0，a-1），（1，+∞）．
（2）x=2是f（x）极值点，∴f'（2）=0，即2-a+

a-1

2

=0，解得a=3．
∴f(x)=

1

2

x2-3x+2lnx（x＞0），f′(x)=

(x-1)(x-2)

x

．
∵

1

e2

＜1＜2＜e2，且当2＜x＜e²时，f^′（x）＞0；当1＜x＜2时，f^′（x）＜0；当

1

e2

＜x＜1时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间[

1

e2

，1)及（2，e²]上单调递增，在区间（1，2）上单调递减．
∴f（x）在[

1

e2

，e2]最大值应在x=1和x=e²处取得
又f(1)=-

5

2

，f(e2)=

e4

2

-3e2+4=

(e2-2)(e2-4)

2

＞-

5

2

，
∴f(x)max=

(e2-2)(e2-4)

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：函数f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx（a＞1）（1）求函数y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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