已知函数f（x）=x3-tx2+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（）A．（-∞，3]B．（-∞，5]C．[3，+∞）D．[5，+∞）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-tx2+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-tx²+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）

A．（-∞，3]

B．（-∞，5]

C．[3，+∞）

D．[5，+∞）

试题来源：南开区二模试题题型：单选题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′（x）=3x²-2tx+3，
因为f（x）在区间（a，b）上单调递减，
所以f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，
所以有

3a2-2ta+3≤0

3b2-2tb+3≤0

，即

3a2-2ta+3≤0

3(a+1)2-2t(a+1)+3≤0

，
所以

t≥

3

2

(a+

1

a

)

t≥

3

2

[(a+1)+

1

a+1

]

（*），
因为对于任意的a∈[1，2]，f（x）在（a，b）上单调递减，所以（*）式恒成立，
又

3

2

(a+

1

a

)≤

3

2

(2+

1

2

)=

15

4

（a=2时取等号），

3

2

[(a+1)+

1

a+1

]≤

3

2

(3+

1

3

)=5（a=2时取等号），
所以

t≥

15

4

t≥5

，即t≥5，
故选D．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-tx2+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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