已知函数f（x）=a（x-1x）-21nx（a∈R）．（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x-y+b=0，求a，b的值（Ⅱ）若a=12，讨论函数f（x）的单调性，并求极值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=a（x-1x）-21nx（a∈R）．（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-21nx（a∈R）．
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x-y+b=0，求a，b的值
（Ⅱ）若a=

1

2

，讨论函数f（x）的单调性，并求极值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由于函数f（x）=a（x-

1

x

）-21nx（a∈R）定义域为（0，+∞），f′(x)=a(1-

1

x2

)-

2

x

．
又由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x-y+b=0，则f^′（1）=2a-2=2，解得a=2
∵f（1）=0，∴切点为（1，0）代入切线方程2x-y+b=0可得b=-2，
故a=2，b=-2．
（Ⅱ）当a=

1

2

时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）=

1

2

（1+

1

x2

）-

2

x

=

x2-4x+1

2x2

∴x∈（0，2-

3

）时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
x∈（2-

3

，2+

3

）时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
x∈（2+

3

，+∞）时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
又f（2-

3

）=-

3

-2ln（2-

3

）=-

3

+2ln（2+

3

），
f（2+

3

）=

3

-2ln（2+

3

）．
故函数f（x）在区间（0，2-

3

），（2+

3

，+∞）上单调递增，在区间（2-

3

，2+

3

上单调递减；
x=2-

3

时，函数f（x）取得极大值-

3

+2ln（2+

3

），x=2+

3

时，函数f（x）取得极小值

3

-2ln（2+

3

）．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=a（x-1x）-21nx（a∈R）．（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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