已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．（1）求b的值；（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．（1）求b的值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x3-

1

2

x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得f′（x）=3x²-x+b
∵f（x）在x=1处取得极值
∴f′（1）=3-1+b=0
∴b=-2
所以b的值是-2．
（2）由（1）得f′（x）=3x²-x-2
∵当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立
∴x3-

1

2

x2-2x+c＜c2在[-1，2]上恒成立，
即x3-

1

2

x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立．
设g（x）=x3-

1

2

x2-2x则g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
当x∈（-1，-

2

3

）时，g′（x）＞0
当x∈（-

2

3

，1）时，g′（x）＜0
当x∈（1，2）时，g′（x）＞0
所以，当x=-

2

3

时，g（x）取得极大值为g（-

2

3

）=

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又因为g（2）=2
所以在[-1，2]上g（x）的最大值为g（2）=2
则有c²-c＞2，解得：c＞2或c＜-1
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．（1）求b的值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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