已知函数g(x)=px-px-2lnx（1）g（x）在其定义域内的单调函数，求p的取值范围；（2）求证：lnx≤x-1（x＞0）（3）求证：ln222+ln332+…+lnnn2＜12[(n-1)-(122+132+…1n2)]（n∈N*，n≥2）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数g(x)=px-px-2lnx（1）g（x）在其定义域内的单调函数，求p的取..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数g(x)=px-

p

x

-2lnx
（1）g（x）在其定义域内的单调函数，求p的取值范围；
（2）求证：lnx≤x-1（x＞0）
（3）求证：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

1

2

[(n-1)-(

1

22

+

1

32

+…

1

n2

)]（n∈N^*，n≥2）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导函数，可得g′(x)=

px2-2x+p

x2

（x＞0）
∵g（x）在其定义域内的单调函数，
∴

p＞0

△=4-4p2≤0

或

p＜0

△=4-4p2≤0

或p=0
∴p≤-1或p≥1或p=0--------------------------------（4分）
（2）证明：设k（x）=lnx-x+1，则k′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

（x＞0）
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，k（x）取极大值，
∴k（x）≤k（1）=0，即f（x）≤x-1（x＞0）-------------------------------（8分）
（3）证明：由（2）知，lnx≤x-1，又x＞0，有

lnx

x

≤

x-1

x

=1-

1

x

，
令x=n2得

ln(n2)

n2

=

2lnn

n2

＜1-

1

n2

，即

lnn

n2

＜

1

2

(1-

1

n2

)，
∴

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

1

2

[(1-

1

22

)+(1-

1

32

)+…+(1-

1

n2

)]
=

1

2

[(n-1)-(

1

22

+

1

32

+…

1

n2

)]--------（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数g(x)=px-px-2lnx（1）g（x）在其定义域内的单调函数，求p的取..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：