已知函数f（x）=lnx-12ax2-2x（a≠0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数f（x）有极值点x0，证明：f（x0）≤-32；（3）若方程f（x）=3有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2，证明：f‘（x1+x2-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-12ax2-2x（a≠0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax2-2x（a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设函数f（x）有极值点x₀，证明：f（x₀）≤-

3

2

；
（3）若方程f（x）=3有两个不相等的实根x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：f'（

x1+x2

2

）≠0．（f'（x）为f（x）的导函数）

试题来源：上饶二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

．
若a≤-1时，则f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
若-1＜a＜0时，则f（x）在（0，

-1+

1+a

a

)，(

-1-

1+a

a

，(

-1+

1+a

a

+∞）上是增函数，在（

-1+

1+a

a

，

-1-

1+a

a

）上是减函数．
若a＞0时，则f（x）在（0，

-1+

1+a

a

）上是增函数，在（

-1+

1+a

a

，+∞）上是减函数．…（4分）
（2）由f′（x₀）=

1

x0

-ax0-2=-

ax02+2x0-1

x0

=0得：ax₀²=1-2x₀
∴f（x₀）=lnx₀-

1

2

(1-2x0)-2x0=lnx0-x0-

1

2

．
设φ（x）=lnx-x-

1

2

，x∈(0，1)时，φ′（x）＞0．
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0．
∴φ（x）的最大值为φ（1）=-

3

2

．于是：f(x0)≤φ(1)=-

3

2

．--------（9分）
（3）若f′（

x1+x2

2

）=0，则

2

x1+x2

-a

x1+x2

2

-2=0．
∵lnx₁-

1

2

ax12-2x1=3，lnx2-

1

2

ax22-2x2=3．∴ln

x2

x1

=

a

2

(x22-x12)+2(x2-x1)=(x2-x1)[

a

2

(x2+x1)+2]=(x2-x1)

2

x2+x1

=

2(1-

x2

x1

)

1+

x2

x1

令

x2

x1

=t，则t＞1．设H(t)=lnt-

2(1-t)

1+t

．
∴H′（t）=

1

t

+

4

(1+t)2

＞0∴H（t）＞H（1）=0
故∴

2(1-

x2

x1

)

1+

x2

x1

≠ln

x2

x1

，即f′（

x1+x2

2

）≠0-----（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-12ax2-2x（a≠0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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