已知：函数f(x)=12x2+ax-2a2lnx(a＞0)（I）求f（x）的单调区间；（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知：函数f(x)=12x2+ax-2a2lnx(a＞0)（I）求f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知：函数f(x)=

1

2

x2+ax-2a2lnx(a＞0)
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵函数f(x)=

1

2

x2+ax-2a2lnx(a＞0)的定义域为（0，+∞）
∴f′(x)=x+a-

2a2

x

=

x2+ax-2a2

x

=

(x+a)(x-2a )

x

∵a＞0，令f′（x）=0，则x=-a（舍去），或x=2a
∵当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，∵当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，2a）为函数f(x)=

1

2

x2+ax-2a2lnx的单调递减区间，
（2a，+∞）为函数f(x)=

1

2

x2+ax-2a2lnx的单调递增区间；
（II）由（I）得当x=2a时，函数取最小值4a²-2a²ln（2a）
若f（x）＞0恒成立
则4a²-2a²ln（2a）=2a²?[2-ln（2a）]＞0
即2-ln（2a）＞0
解得a＜

e2

2

又∵a＞0，
∴a的取值范围为（0，

e2

2

）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：函数f(x)=12x2+ax-2a2lnx(a＞0)（I）求f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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