已知函数f(x)=2ax-bx+lnx在x=1和x=12处取得极值．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[14，2]上存在x0，使得不等式f（x0）-c≤0成立，求实数c的最小值．（参考数据e2≈7.389，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2ax-bx+lnx在x=1和x=12处取得极值．（Ⅰ）求实数a，b的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1和x=

1

2

处取得极值．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[

1

4

，2]上存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求实数c的最小值．（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数f（x）定义域为（0，+∞）f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

…（2分）
依题意得，

f′(1)=2a+b+1=0

f′(

1

2

)=2a+4b+2=0

，解得，

a=-

1

3

b=-

1

3

故所求a，b的值为a=b=-

1

3

…（5分）
（Ⅱ）在[

1

4

，2]上存在x₀，使不等式f（x₀）-c≤0成立，只需c≥[f（x₀）]_min
由（Ⅰ）知f′(x)=-

2

3

x-

1

3x2

+

1

x

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f′（x）＜0，故函数f（x）在[

1

4

，

1

2

]上单调递减，
当x∈[

1

2

，1]时，f′（x）＞0，故函数f（x）在[

1

2

，1]上单调递增，
当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，故函数f（x）在[

1

4

，

1

2

]上单调递减…（7分）
∴f(

1

2

)=

1

3

-ln2是f（x）在[

1

4

，2]上的极小值，且函数f（x）的最小值必是f(

1

2

)，f(2)两者中较小的…（8分）
而f(2)=-

7

6

+ln2，f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-ln4=lne

3

2

-ln4=

1

2

ln

e3

16

∵e³≈20.08＞16，f(

1

2

)-f(2)＞0∴[f(x)]min=f(2)=-

7

6

+ln2…（9分）∴c≥[f(x)]min=-

7

6

+ln2
所以，实数c的最小值为-

7

6

+ln2．…（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2ax-bx+lnx在x=1和x=12处取得极值．（Ⅰ）求实数a，b的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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