已知，f（x）=ax-lnx，g(x)=-f(x)x，a∈R．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性、极值；（2）当a=-1时，求证：g(x2)-f(x1)＜2x1+12，?x1，x2∈(0，+∞)成立；（3）是否存在实数a，使x∈（0，e]时-数学试题及答案

1、试题题目：已知，f（x）=ax-lnx，g(x)=-f(x)x，a∈R．（1）当a=1时，讨论f（x）的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知，f（x）=ax-lnx，g(x)=

-f(x)

x

，a∈R．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性、极值；
（2）当a=-1时，求证：g(x2)-f(x1)＜2x1+

1

2

，?x1，x2∈(0，+∞)成立；
（3）是否存在实数a，使x∈（0，e]时，f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a=1时，f(x)=x-lnx，f′(x)=

x-1

x

(x＞0)，x＞1时，f'（x）＞0，x＜0时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，f（x）有极小值f（1）=1
（2）a=-1时，g(x)=

x+lnx

x

=1+

lnx

x

，g′(x)=

1-lnx

x2

，设h(x)=f(x)+2x+

1

2

，
则h(x)=x-lnx+

1

2

，由（1）知h（x）的最小值为

3

2

．
又因为g（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）单调递减，
所以g（x）最大值为g(e)=1+

1

e

＜

3

2

=h(x)min，
所以g（x₂）＜h（x₁）（x₁，x₂∈（0，+∞）
从而：g(x2)-f(x1)＜2x1+

1

2

，?x1，x2∈(0，+∞)成立
（3）f/(x)=

ax-1

x

①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；
②当a＞0时，f′（x）=0的根为

1

a

当 0＜

1

a

＜e时，f(x)在x∈(0，

1

a

)上单调递减，在(

1

a

，e)上单调递增f(x)min=f(

1

a

)=1-ln

1

a

=3，解得a=e²
③当

1

a

≥e时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；
综上所述a=e^2时，使x∈（0，e]时，f（x）的最小值是3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知，f（x）=ax-lnx，g(x)=-f(x)x，a∈R．（1）当a=1时，讨论f（x）的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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