已知函数f（x）=ax+ax-3lnx．（1）a=2时，求f（x）的最小值；（2）若a≥0且f（x）在[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax+ax-3lnx．（1）a=2时，求f（x）的最小值；（2）若a≥0且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax+

a

x

-3ln x．
（1）a=2时，求f（x）的最小值；
（2）若a≥0且f（x）在[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a=2，得f(x)=2x+

2

x

-3lnx(x＞0)，
∴f′(x)=2-

2

x2

-

3

x

=

2x2-3x-2

x2

．
令f′（x）=0，得x=2或x=-

1

2

．
列表：

∴f（x）_min=f（2）=5-3ln2；
（2）f′(x)=a-

a

x2

-

3

x

=

ax2-3x-a

x2

．
若a=0，x∈[1，2]时f′（x）＜0
∴f（x）在[1，2]上单调递减，
若a＞0，由f′（1）＜0，且f（x）在[1，2]上是单调函数，
∴f′（x）≤0对x∈[1，2]恒成立，
即x∈[1，2]时，g（x）=ax²-3x-a≤0恒成立，
∴

a＞0

g(1)≤0

g(2)≤0

，即

a＞0

-3≤0

4a-6-a≤0

，解得0＜a≤2．
综上得0≤a≤2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax+ax-3lnx．（1）a=2时，求f（x）的最小值；（2）若a≥0且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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