已知函数f（x）=ax2-3x+4+2lnx（a＞0）．（Ⅰ）当a=12时，求函数f（x）在[12，3]上的最大值；（Ⅱ）若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2-3x+4+2lnx（a＞0）．（Ⅰ）当a=12时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²-3x+4+2lnx（a＞0）．
（Ⅰ）当a=

1

2

时，求函数f（x）在[

1

2

，3]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

试题来源：杭州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=

1

2

时，f(x)=

1

2

x2-3x+4+2lnx，
f′(x)=

(x-1)(x-2)

x

，
即f（x）在区间[

1

2

，1)和（2，3]上单调递增；在区间[1，2]上单调递减．
∴f(1)=

3

2

，f(3)=2ln3-

1

2

，
所以函数f（x）在[

1

2

，3]上的最大值为f(3)=2ln3-

1

2

．
（Ⅱ）f′(x)=2ax-3+

2

x

=

2ax2-3x+2

x

，
因为f（x）在其定义域上是单调递增函数，
所以当x∈（0，+∞）时f'（x）≥0恒成立，
得2ax²-3x+2≥0恒成立，
因为a＞0，x=

3

4a

＞0，
所以△=9-16a≤0，
所以实数a的取值范围为[

9

16

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2-3x+4+2lnx（a＞0）．（Ⅰ）当a=12时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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