已知函数f(x)=13ax3-12a2x2+2x+1，其中a∈R．（1）若f（x）在x∈R时存在极值，求a的取值范围；（2）若f（x）在[-1，12]上是增函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13ax3-12a2x2+2x+1，其中a∈R．（1）若f（x）在x∈R时存在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

ax3-

1

2

a2x2+2x+1，其中a∈R．
（1）若f（x）在x∈R时存在极值，求a的取值范围；
（2）若f（x）在[-1，

1

2

]上是增函数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由f（x）=

1

3

ax3-

1

2

a2x2+2x+1得：f′(x)=ax2-a2x+2
（1）①当a=0时，f'（x）=2＞0
∴f（x）单调递增，
∴f（x）不存在极值
②当a≠0时，△=a⁴-8a≤0，即0＜a≤2，f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立
∴f（x）不存在极值a的范围为0≤a≤2
∴f（x）存在极值a的范围为a＜0或a＞2．
（2）由题意f′（x）≥0在（-1，

1

2

]恒成立
①当a=0时f'（x）=2＞0恒成立
∴a=0合题意
②当a＜0时

f′(-1)=a+a2+2≥0…a∈R

f′(

1

2

)=

1

4

a-

1

2

a2+2≥0…

1-

65

4

≤a≤

1+

65

4

∴

1-

65

4

≤a＜0
③当a＞0时f'（x）的对称轴为x=

a

2

．
若0＜

a

2

≤

1

2

，则△=a4-8a≤0即0≤a≤2
∴0＜a≤1
若

a

2

＞

1

2

即a＞1则f′(x)在[-1，

1

2

]为单减函数

∴f′(

1

2

)≥0即

1

4

a-

1

2

a2

+2≥0．
∴

1-

65

4

≤a≤

1+

65

4

综上：①②③得：f（x）在[-1，

1

2

]上为增函数，
a的取值范围是

1-

65

4

≤a≤

1+

65

4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13ax3-12a2x2+2x+1，其中a∈R．（1）若f（x）在x∈R时存在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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