已知平面向量a=（3，-1），b=（12，32）．（I）若存在实数k和t，使得x=a+（t2-3）b，y=-ka+b，且x⊥y，试求函数的关系式k=f（t）；（II）根据（I）结论，确定k=f（t）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知平面向量a=（3，-1），b=（12，32）．（I）若存在实数k和t，使得x=a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（I）若存在实数k和t，使得

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+

b

，且

x

⊥

y

，试求函数的关系式k=f（t）；
（II）根据（I）结论，确定k=f（t）的单调区间．

试题来源：湖南模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)
∴|

a

|=2，|

b

|=1，

a

?

b

=

3

×

1

2

-1×

3

2

=0
∴

a

⊥

b

∵

x

⊥

y

，∴

x

?

y

=0
即-k|

a

|2+t(t2-3)|

b

|2=0，
∴t³-3t-4k=0
即k=

1

4

t3-

3

4

t

（II）由（I）知，k=f（t）=

1

4

t3-

3

4

t，
∴k′=

3

4

t2-

3

4

=

3

4

(t+1)(t-1)
令k′＜0得-1＜t＜1，令k′＞0得t＜0或t＞1
故k=f（t）的单调递减区间是[-1，1]；
单调递增区间是（-∞，-1]，[1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知平面向量a=（3，-1），b=（12，32）．（I）若存在实数k和t，使得x=a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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