设函数f（x）=-x（x-a）2，x∈R，其中a∈R．（Ⅰ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅱ）当a＞3时，是否存在实数k∈[-1，0]，使不等式f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意的x∈R恒成立，若存-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=-x（x-a）2，x∈R，其中a∈R．（Ⅰ）当a≠0时，求函数f（x）的极..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=-x（x-a）²，x∈R，其中a∈R．
（Ⅰ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）当a＞3时，是否存在实数k∈[-1，0]，使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，所以f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．．
令f'（x）=0，得x=a或x=

a

3

．
①若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x

（-∞，

a

3

）

a

3

（

a

3

，a）

a

（a，+∞）

f'（x）

-

0

+

0

-

因此，函数f（x）在x=

a

3

处取得极小值f(

a

3

)=-

4

27

a3；函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．…（4分）
②若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x

（-∞，a）

a

（a，

a

3

）

a

3

（

a

3

，+∞）

f'（x）

-

0

+

0

-

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；函数f（x）在x=

a

3

处取得极大值f（

a

3

），且f(

a

3

)=-

4

27

a3．…（6分）
（Ⅱ）假设存在实数k∈[-1，0]，使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，
由a＞3，得

a

3

＞1，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
由②知f（x）在（-∞，1]上是减函数，要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，
只要k-cosx≤k²-cos²x，即cos²x-cosx≤k²-k成立．
因为g（x）=cos²x-cosx=（cosx-

1

2

）²-

1

4

，所以g（x）的最大值为2．此时有k²-k≥2，解得k≥2或k≤-1．
因为k∈[-1，0]，所以k=-1．
即存在k=-1．使得f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=-x（x-a）2，x∈R，其中a∈R．（Ⅰ）当a≠0时，求函数f（x）的极..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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