设a＞0，求函数f（x）=x-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞0，求函数f（x）=x-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设a＞0，求函数f（x）=

x

-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．

试题来源：天津试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意得f′(x)=

1

2

x

-

1

x+a

(x＞0)，
令f′（x）=0，
即x²+（2a-4）x+a²=0，
（i）当a＞1时，
对所有x＞0，有x²+（2a-4）+a²＞0．
即f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，+∞）内单调递增；

（ii）当a=1时，
对x≠1，有x²+（2a-4）x+a²＞0，
即f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，1）内单调递增，且在（1，+∞）内也单调递增，
又知函数f（x）在x=1处连续，
因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增；

（iii）当0＜a＜1时，
令f′（x）＞0，
即x²+（2a-4）x+a²＞0，
解得x＜2-a-2

1-a

或x＞2-a+2

1-a

，
因此，函数f（x）在区间(0，2-a-2

1-a

)，(2-a+2

1-a

，+∞)内也单调递增．
令f′（x）＜0，
即x²+（2a-4）x+a²＜0，
解得2-a-2

1-a

＜x＜2-a+2

1-a

，
因此，函数f（x）在区间(2-a-2

1-a

，2-a+2

1-a

)内单调递减．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞0，求函数f（x）=x-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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