已知函数f(x)=13a2x3-ax2+23．（I）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求a＞2时，函数f（x）在区间（-1，1）上的极值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13a2x3-ax2+23．（I）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

．
（I）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求a＞2时，函数f（x）在区间（-1，1）上的极值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当a=1时，f（x）=

1

3

x³-x²+

2

3

，f′（x）=x²-2x…（2分）
∴k=f′（1）=1-2=-1，f（1）=

1

3

-1+

2

3

=0，
∴y-0=-（x-1）
即x+y-1=0为所求切线方程．…（4分）
（II）f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，f′（x）=a²x²-2ax=a²x（x-

2

a

），
令f'（x）=0得x=0或x=

2

a

…（6分）
当a＞2时，0＜

2

a

＜1，
令f'（x）＞0可得x＜0或x＞

2

a

；令f'（x）＜0可得0＜x＜

2

a

，
∴f（x）在（-1，0）递增，在（0，

2

a

）递减，在（

2

a

，1）递增
∴f（x）的极大值为f（0）=

2

3

，f（x）的极小值为f（

2

a

）=-

4

3a

+

2

3

…（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13a2x3-ax2+23．（I）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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