已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．（Ⅰ）若f（x）为（0，+∞）上的单调函数，试确定实数m的取值范围；（Ⅱ）求函数f（x）在定义域上的极值；（Ⅲ）设an=1n+1+1n+2+…+1n+(n+1)(n∈N*)，求证：an＞ln2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．（Ⅰ）若f（x）为（0，+∞）上的单调函数，试确..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．
（Ⅰ）若f（x）为（0，+∞）上的单调函数，试确定实数m的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）在定义域上的极值；
（Ⅲ）设an=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+(n+1)

(n∈N*)，求证：a_n＞ln2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′(x)=

1

x+1

-m
∵x＞0时，0＜

1

x+1

＜1
∴m≤0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增
∴m≥1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减
∴m的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）单调函数；
（Ⅱ）①当m≤0时，f'（x）＞0，f（x）为定义域上的增函数，
∴f（x）没有极值；
②当m＞0时，由f'（x）＞0得-1＜x＜

1

m

-1；
由f'（x）＜0得x＞

1

m

-1∴f(x)在(-1，

1

m

-1)上单调递增，(

1

m

-1，+∞)上单调递减．
故当x=

1

m

-1时，f（x）有极大值f(

1

m

-1)=m-1-lnm，但无极小值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令x=

1

k+1

，得ln(1+

1

k+1

)＜

1

k+1

所以

1

n+1

+

1

n+2

++

1

n+(n+1)

＞ln

n+2

n+1

+ln

n+3

n+2

++ln

2n+2

2n+1

=ln

2n+2

n+1

=ln2．
所以a_n＞ln2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．（Ⅰ）若f（x）为（0，+∞）上的单调函数，试确..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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