设函数f(x)=13x3-x2+ax，g（x）=2x+b，当x=1+2时，f（x）取得极值．（1）求a的值，并判断f(1+2)是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）当x∈[-3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=13x3-x2+ax，g（x）=2x+b，当x=1+2时，f（x）取得极值．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

1

3

x3-x2+ax，g（x）=2x+b，当x=1+

2

时，f（x）取得极值．
（1）求a的值，并判断f(1+

2

)是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）当x∈[-3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意f'（x）=x²-2x+a，
∵当x=1+

2

时，f（x）取得极值，
∴所以f′(1+

2

)=0，
∴(1+

2

)2-2(1+

2

)+a=0，
∴即a=-1
此时当x＜1+

2

时，f'（x）＜0，
当x＞1+

2

时，f'（x）＞0，
则f(1+

2

)是函数f（x）的最小值．
（2）设f（x）=g（x），则

1

3

x3-x2-3x-b=0，b=

1

3

x3-x2-3x，
设F（x）=

1

3

x3-x2-3x，G（x）=b，F'（x）=x²-2x-3，令F'（x）=x²-2x-3=0解得x=-1或x=3，
∴函数F（x）在（-3，-1）和（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数．
当x=-1时，F（x）有极大值F（-1）=

5

3

；当x=3时，F（x）有极小值F（3）=-9，
∵函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，F（-3）=-9，F（4）=-

20

3

，
∴函数F（x）与G（x）的图象有两个公共点，结合图象可得
∴-

20

3

＜b＜

5

3

或b=-9，
∴b∈(-

20

3

，

5

3

)∪{-9}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=13x3-x2+ax，g（x）=2x+b，当x=1+2时，f（x）取得极值．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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